Kalkulus Contoh

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $18$ keluar dari integral.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Kemudian $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + \tan^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 2.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 2.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tambahkan $0$ dan $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Langkah 3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ sebagai $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Langkah 7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$