Kalkulus Contoh

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6 - 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

Langkah 3.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Langkah 3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Langkah 3.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.2.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ .

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

Langkah 3.3.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan $x$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ dan $10$ .

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Langkah 3.9

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ .

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.2

Kalikan $6$ dengan $10$ .

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.7

Kalikan $- 2$ dengan $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.8

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.9

Tambahkan $- 20 x^{3}$ dan $20 x^{3}$ .

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.10

Tambahkan $60 x$ dan $0$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.12

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.12.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.13

Kalikan $\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ dengan $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ .

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.14

Kalikan $16$ dengan $60$ .

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.15

Kalikan $x$ dengan $x^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.15.1

Pindahkan $x^{8}$ .

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.15.2

Kalikan $x^{8}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.15.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.15.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.15.3

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 3.10.6.16

Kalikan ${(3 - x^{2})}^{2}$ dengan ${(3 - x^{2})}^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.6.16.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

Langkah 3.10.6.16.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

Langkah 3.10.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$