Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = \ln (y)$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ sehingga $y d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = \ln (y)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Langkah 1.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Langkah 1.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Langkah 4

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 5

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Langkah 6.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Langkah 6.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\ln (2)$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (2)$

Bentuk Desimal:

$0.69314718 \dots$