Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$