Kalkulus Contoh

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Langkah 2

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r x}$ .

Langkah 3

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 3.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 3.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Langkah 3.4

Hilangkan tanda kurung.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Langkah 3.5

Faktorkan $e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $e^{r x}$ dari $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Langkah 3.5.4

Faktorkan $e^{r x}$ dari $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Langkah 3.5.5

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Langkah 3.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Langkah 4

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Langkah 4.2

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan $r^{2} + 3 r - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $3$ .

$- 1, 4$

Langkah 4.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Langkah 4.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Langkah 4.5

Atur $r - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Atur $r - 1$ sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

Langkah 4.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$r = 1$

Langkah 4.6

Atur $r + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Atur $r + 4$ sama dengan $0$ .

$r + 4 = 0$

Langkah 4.6.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r = - 4$

Langkah 4.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(r - 1) (r + 4) = 0$ benar.

$r = 1, - 4$

Langkah 5

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Langkah 6

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Langkah 7

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$