Kalkulus Contoh

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $x$ dari $- 7 x + 5 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $x$ dari $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 5

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 9$ keluar dari integral.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = - 9 x$ . Kemudian $d u = - 9 d x$ sehingga $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - 9 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$- 9$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 9

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 11.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 11.3

Kalikan $\int e^{u} d u$ dengan $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Langkah 13

Susun kembali $- 7$ dan $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Langkah 14

Bagilah $5 x^{4} - 7$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Langkah 14.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Langkah 14.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Langkah 14.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{4} + 0$

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Langkah 14.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Langkah 14.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Langkah 14.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Langkah 15

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Langkah 16

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Langkah 17

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Langkah 18

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Langkah 19

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Langkah 20

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 21

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 22

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 23

Sederhanakan.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Langkah 24

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Langkah 25

Susun kembali suku-suku.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Langkah 26

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$