Kalkulus Contoh

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Langkah 1

Susun kembali $e^{- θ}$ dan $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (2 θ)$ dan $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Langkah 3

Karena $- - 2$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- - 2$ keluar dari integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- θ}$ dan $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (2 θ)$ dan $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Langkah 6

Karena $- 1 \cdot 2$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- 1 \cdot 2$ keluar dari integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Langkah 7

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Langkah 7.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Langkah 7.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , kami menemukan bahwa $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ sebagai $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $e^{- θ}$ dari $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Faktorkan $e^{- θ}$ dari $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Langkah 9.2.1.2

Faktorkan $e^{- θ}$ dari $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Langkah 9.2.1.3

Faktorkan $e^{- θ}$ dari $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Langkah 9.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Langkah 9.2.5

Tulis kembali $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ sebagai $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Langkah 9.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$