Kalkulus Contoh

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Langkah 1

Bagilah $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ dengan $t^{2} + 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $t^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $t^{3} + 3 t^{2} + 0$

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 t^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 t^{2} + 6 t + 0$

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Langkah 5

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2} + 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

Langkah 5.1.1.2

Faktorkan $t$ dari $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Langkah 5.1.1.3

Faktorkan $t$ dari $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

Langkah 5.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

Langkah 5.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $t + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.5.2

Bagilah $t + 1$ dengan $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6.1.2

Bagilah $A (t + 3)$ dengan $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $t + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

Langkah 5.1.6.4.2

Bagilah $(B) (t)$ dengan $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

Langkah 5.1.7

Pindahkan $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

Langkah 5.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $t$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 5.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $t$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 3 A$

Langkah 5.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

Langkah 5.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = 3 A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

Langkah 5.3.1.2

Bagi setiap suku pada $3 A = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $3 A = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Langkah 5.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Langkah 5.3.1.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Langkah 5.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $\frac{1}{3}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A + B$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Kurangkan $\frac{1}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.3.2.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Langkah 5.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Langkah 5.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

Langkah 5.5.4

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Langkah 9

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

Langkah 10

Biarkan $u = t + 3$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = t + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

Langkah 10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 3$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 10.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 10.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$