Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Langkah 6.2

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ sebagai ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan.

$- 4 + K = 1^{3}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 + K = 1$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 1 + 4$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$K = 5$

Langkah 7

Substitusikan $5$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $5$ untuk $K$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$