Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 6.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Langkah 7.2

Gabungkan.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Langkah 7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 7.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 7.4.3

Kalikan $5^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 7.4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Bentuk Desimal:

$3.39344662 \dots$

Langkah 9