Kalkulus Contoh

$y = \frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 5 + 3 x^{3}$ dan $g (x) = 1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 + 3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + 3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{3 (1 + 2 x^{3}) (3 x^{2}) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.12

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) (3 x^{2})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.14

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(9 \cdot 1 + 9 (2 x^{3})) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} + (- 6 \cdot 5 - 6 (3 x^{3})) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{3})) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 3}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{5}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.4

Kalikan $- 6$ dengan $5$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.5

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 (x^{2} x^{3}))}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{2 + 3})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{5})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.1

Kurangi $18 x^{5}$ dengan $18 x^{5}$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2} + 0}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2.2

Tambahkan $9 x^{2} - 30 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.3

Kurangi $30 x^{2}$ dengan $9 x^{2}$ .

$\frac{- 21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$