Kalkulus Contoh

$6 \sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$ sebagai ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 9

Pindahkan ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $6$ .

$\frac{6}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Langkah 11

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Langkah 12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Langkah 12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Langkah 13

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Langkah 14

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Langkah 16

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 (4 x^{3}))$

Langkah 18

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 32 x^{3})$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$

Langkah 19.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Untuk menuliskan $8 x^{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + \frac{8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1

Pindahkan $x$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x \cdot x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x^{1} x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{1 + 4}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.3.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{5}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1 + 8 x^{5}}{x}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{\frac{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 19.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 19.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.6

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}$ dengan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.7.1

Untuk menuliskan $32 x^{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32 x^{3} x^{2}}{x^{2}}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{3} x^{2}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.7.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 + 32 (x^{2} x^{3})}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{2 + 3}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.3.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.4

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.7.4.1

Gabungkan $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}}$ dan $3$ .

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}} x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.4.2

Gabungkan $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.7.5.1

Kurangi pernyataan $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.7.5.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.5.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.5.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.5.2

Bagilah $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{- \frac{3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.7.8

Gabungkan $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ dan $3$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.8

Faktorkan $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ dari $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.9

Kalikan $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 1 + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.10

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- 1 (1) + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.11

Faktorkan $- 1$ dari $32 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 1 (1) - (- 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.12

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- 32 x^{5})$ .

$\frac{3 (- 1 (1 - 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 (1 - 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$