Kalkulus Contoh

$\sqrt{x^{3} + y^{3}} = 2 y$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{3} + y^{3}}$ sebagai ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{3} + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.6.2.2

Pindahkan ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Langkah 3.6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Langkah 3.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$ .

$(3 x^{2} + 3 y^{2} y') \frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.2

Kalikan $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ dengan $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3.2

Faktorkan $3$ dari $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y'$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 2 y'$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan $\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (x^{2} + y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.4

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 3 (y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.5.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 y' y^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.5.2

Susun kembali $3 x^{2}$ dan $3 y' y^{2}$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan $2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 \cdot 2 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 6.3.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y' y^{2}$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Langkah 6.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Langkah 6.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Langkah 6.3.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ dengan $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ dengan $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.4.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$