Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 2$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Faktorkan $x^{2} - x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 1.1.3.5.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.3.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 2, - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 3.2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 3.2.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{6}{3}$

Langkah 4.1.2.3

Bagilah $6$ dengan $3$ .

$2$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

Langkah 4.2.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

Langkah 4.2.2.3

Bagilah $3$ dengan $- 3$ .

$- 1$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 4.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

Langkah 4.3.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

Langkah 5