Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$ sebagai ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \cos (2 x) - \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 7.2.2

Pindahkan ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 x) - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 8.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 9.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 9.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Langkah 9.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 10

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$

Langkah 11

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$ .

$(- 2 \sin (2 x) - \cos (x)) \frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$