Kalkulus Contoh

$y = - \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{2}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{5} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.6

Gabungkan $\frac{- 10}{5}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Faktorkan $5$ dari $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7.2.4

Bagilah $- 2 x^{4}$ dengan $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{4} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $\frac{- 2}{2}$ dan $x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 x^{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{4} - x + 2 (\frac{1}{2}) x^{- 3}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2} x^{- 3}$

Langkah 1.4.5

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2 x^{- 3}}{2}$

Langkah 1.4.6

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Langkah 1.4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Langkah 1.4.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = - 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Langkah 2.4.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{- 6} (3 x^{2})$

Langkah 2.4.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 6} x^{2}$

Langkah 2.4.6

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Langkah 2.4.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{2 - 6}$

Langkah 2.4.6.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{- 3}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 8 x^{3} - 1 - \frac{3}{x^{4}}$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - 8 x^{3} - \frac{3}{x^{4}} - 1$