Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$ sebagai $e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})$ dengan memindahkan $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 4.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 6

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$e^{\frac{0 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 10

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 10.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + x}{2 + x})}$

Langkah 11

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Langkah 12

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Langkah 12.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Langkah 12.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + 1})}$

Langkah 12.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Langkah 12.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Langkah 13

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Langkah 14

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Langkah 14.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Langkah 14.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Langkah 15

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1})}$

Langkah 16

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0^{2}}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$e^{\frac{0 - 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{\frac{0 + 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.1.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$e^{\frac{0}{- 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.3

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$e^{0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Langkah 16.2.4

Sederhanakan $0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})$ dengan memindahkan $0$ ke dalam logaritma.

$e^{\ln ({(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0})}$

Langkah 16.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Langkah 16.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${(\frac{1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Langkah 16.2.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.7.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

${(\frac{1}{0 + 1})}^{0}$

Langkah 16.2.7.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${(\frac{1}{1})}^{0}$

Langkah 16.2.8

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1^{0}$

Langkah 16.2.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$