Kalkulus Contoh

$(x + 3) e^{- 2 x}$

Langkah 1

Tulis $(x + 3) e^{- 2 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int (x + 3) e^{- 2 x} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x + 3$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 5

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ dan $x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 13.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Langkah 15

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$