Kalkulus Contoh

$x \cdot e^{3 x}$

Langkah 1

Tulis $x \cdot e^{3 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \cdot e^{3 x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \cdot e^{3 x} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{3 x}$ .

$x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Langkah 12

Tulis kembali $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ sebagai $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \cdot e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$