Kalkulus Contoh

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.3.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $\cos (\frac{x}{3})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 15$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ dan $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- \frac{5}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Langkah 2.3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $\sin (\frac{x}{3})$ dan $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Langkah 2.3.2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

Langkah 2.3.6

Kalikan $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ dengan $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.2.1.2

Bagilah $\cos (\frac{x}{3})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

Langkah 5.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Langkah 5.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Sederhanakan $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4

Kalikan $3 \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.4.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Langkah 5.8

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Langkah 7.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

Langkah 7.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{5}{9}$

Langkah 8

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

Langkah 9.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

Langkah 9.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

Langkah 9.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

Langkah 9.2.2

Kurangi $15$ dengan $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 20$ .

$y = - 20$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{9 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Langkah 11.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Langkah 11.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Langkah 11.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

Langkah 11.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

Langkah 11.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{9}$

Langkah 12

$x = \frac{9 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{9 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{9 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{9 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Langkah 13.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Langkah 13.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

Langkah 13.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

Langkah 13.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

Langkah 13.2.1.4

Kalikan $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

Langkah 13.2.1.4.2

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

Langkah 13.2.2

Kurangi $15$ dengan $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10$ .

$y = - 10$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ adalah minimum lokal

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ adalah maksimum lokal

Langkah 15