Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Langkah 1

Biarkan $u = t + 1$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = t + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = t + 1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = t + 1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

Langkah 1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Perluas $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.8

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.9

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.10

Tambahkan $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ dan $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

Langkah 3.11

Tambahkan $2 u^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $x^{2} + 2$ dan pada $2$ .

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 7.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 7.2.1.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 7.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

Langkah 7.2.1.4

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Langkah 9.2

Kalikan $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Langkah 9.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Langkah 9.3

Kalikan $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{5}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 9.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 9.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

Langkah 9.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

Langkah 9.3.2.4

Tambahkan $2$ dan $5$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

Langkah 9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$