Kalkulus Contoh

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Kemudian $d u_{2} = - e^{- x} d x$ sehingga $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 4.1.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 4.1.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Langkah 4.1.4

Kurangi $e^{- x}$ dengan $0$ .

$- e^{- x}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Langkah 10

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$