Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2} d x$

Langkah 4

Bagilah $x^{2} + x + 1$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$1$

Langkah 4.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Langkah 4.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 4.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 4.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$

Langkah 4.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Langkah 4.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Langkah 4.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	-	$2$

Langkah 4.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x - 2$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	+	$2$

Langkah 4.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	+	$2$
							+	$3$

Langkah 4.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int x - 1 + \frac{3}{x + 2} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Langkah 8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 9

Biarkan $u = x + 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 9.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + 3 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| u |) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| x + 2 |) + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + 3 \ln (| x + 2 |) + C$