Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Langkah 2

Bagilah $x^{3}$ dengan $x^{2} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Langkah 2.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Langkah 2.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

Langkah 6

Biarkan $u = x^{2} - 4$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x^{2} - 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 6.1.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 9.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Langkah 13.2

Untuk menuliskan $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

Langkah 13.3

Gabungkan $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

Langkah 13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 13.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 13.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

Langkah 13.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$