Kalkulus Contoh

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ sebagai $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.2

Perluas $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Kalikan $\sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3.1.1.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.1.3.1.3

Kalikan $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.1.3.1.3.2

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.1.3.1.3.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.1.3.1.3.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Langkah 1.1.3.1.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 1.1.3.1.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1.1.3.3

Kurangi $\cos (x) \sin (x)$ dengan $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1.1.4

Pindahkan $\cos^{2} (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 5.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 x + C - 2 \int - u d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

Langkah 7

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 x + C + 2 \int u d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Langkah 9.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x + 1 u^{2} + C$

Langkah 9.2.3

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$2 x + u^{2} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$2 x + \cos^{2} (x) + C$