Kalkulus Contoh

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 6.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 6.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 6.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 6.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

Langkah 10

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

Langkah 11

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 11.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

Langkah 13

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

Langkah 14

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$