Kalkulus Contoh

$\frac{x + 1}{2 x + 3}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x + 1}{2 x + 3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x + 1}{2 x + 3} d x$

Langkah 4

Bagilah $x + 1$ dengan $2 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$3$

$x$

$1$

Langkah 4.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$

Langkah 4.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			+	$x$	+	$\frac{3}{2}$

Langkah 4.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$

Langkah 4.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Langkah 4.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 3} d x)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 x + 3$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 9.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 9.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 9.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 10.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 12.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 3$ .

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$