Kalkulus Contoh

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Kemudian $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sec (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $\sec (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.5

Kalikan $\cos (3 x)$ dengan $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 2.1.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.1.6.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.1.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.1.7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Langkah 2.1.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Langkah 2.1.7.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1.1

Tambahkan tanda kurung.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.1.2

Susun kembali $\cos (3 x)$ dan $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.1.3

Tulis kembali $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.3

Tulis kembali $\tan (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Langkah 2.1.8.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Langkah 2.1.8.5

Pisahkan pecahan.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Langkah 2.1.8.6

Konversikan dari $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ ke $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Langkah 2.1.8.7

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Langkah 3

Gabungkan $u_{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{3}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ sebagai $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Langkah 7.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$