Kalkulus Contoh

\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

Langkah 2

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

Langkah 3

Bagilah

3 x^{2} + 4 x + 1

$3 x^{2} + 4 x + 1$ dengan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai

0

$0$ .

x

$x$

0

$0$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

4 x

$4 x$

1

$1$

Langkah 3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

3 x^{2}

$3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x

$x$ .

					$3 x$ $3 x$
	$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$

Langkah 3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$0$ $0$

Langkah 3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

3 x^{2} + 0

$3 x^{2} + 0$

				$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$

Langkah 3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$
					+	$4 x$ $4 x$

Langkah 3.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$
					+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$

Langkah 3.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

4 x

$4 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x

$x$ .

				$3 x$ $3 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$
					+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$

Langkah 3.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$ $3 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$
					+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
					+	$4 x$ $4 x$	+	$0$ $0$

Langkah 3.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

4 x + 0

$4 x + 0$

				$3 x$ $3 x$	+	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$0$ $0$		$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$	+	$1$ $1$
			-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$0$ $0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

Langkah 3.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

Langkah 3.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 5

Karena

$3$ konstan terhadap

$x$ , pindahkan

$3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 8

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9

Integral dari

$\frac{1}{x}$ terhadap

$x$ adalah

$\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

Langkah 10.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$