Kalkulus Contoh

f (x) = - | x | + 7

$f (x) = - | x | + 7$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$- | x | + 7$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- | x |$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari

$| x |$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena

$7$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$7$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan

$- \frac{x}{| x |}$ dan

$0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = - 1$ dan

$g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

$f (x) = x$ dan

$g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3.2

Kalikan

$| x |$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.4

Turunan dari

$| x |$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.5

Gabungkan

$\frac{x}{| x |}$ dan

$x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.7

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.9

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.10

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 1$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Kalikan

$\frac{x}{| x |}$ dengan

$0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Langkah 2.11.2

Tambahkan

$- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ dan

$0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.1

Untuk menuliskan

$| x |$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.3.1

Kalikan

$| x | | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.3.1.1

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.2

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.3

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.1.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.3.3

Kurangi

$x^{2}$ dengan

$x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.1.4

Bagilah

$0$ dengan

$| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.2

Hapus nilai mutlak dalam

${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 2.12.3

Bagilah

$0$ dengan

$x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Langkah 2.12.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$f'' (x) = 0$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan

$0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$- | x | + 7$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- | x |$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.2.2

Turunan dari

$| x |$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena

$7$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$7$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan

$- \frac{x}{| x |}$ dan

$0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari

$f (x)$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5.3

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat

$- \frac{x}{| x |} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam

$\frac{x}{| x |}$ agar sama dengan

$0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$| x | = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat

$\pm$ di sisi kanan persamaan karena

$| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2

Tambah atau kurang

$0$ adalah

$0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada

$x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$0$

Langkah 9

Karena setidaknya ada satu titik di

$0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi

$(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai

$x$ yang membuat turunan pertamanya

$0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 9.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti

$- 2$ , dari interval

$(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama

$- \frac{x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$- 2$ dan

$0$ adalah

$2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Langkah 9.2.2.2

Bagilah

$- 2$ dengan

$2$ .

$f' (- 2) = 1$

Langkah 9.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$1$ .

$1$

Langkah 9.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti

$2$ , dari interval

$(0, \infty)$ dalam turunan pertama

$- \frac{x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$2$ adalah

$2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Langkah 9.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$f' (2) = - 1$

Langkah 9.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah

$- 1$ .

$- 1$

Langkah 9.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar

$x = 0$ , maka

$x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 10