Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 6 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 6 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $36$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $36$ dari $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $36$ dari $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $36 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Langkah 3

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Langkah 4

Integral dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $- \cos (t)$ pada $\frac{π}{6}$ dan pada $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Langkah 5.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Langkah 5.3.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Bentuk Desimal:

$0.80384757 \dots$