Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = - 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 8

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 10.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 11

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Langkah 12

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 12.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 12.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$