Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Langkah 1.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Langkah 1.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 4.2.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Langkah 4.2.7

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Langkah 4.2.8

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

Langkah 4.2.9

Tambahkan $\frac{2}{3}$ dan $0$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$