Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 6 x + 3$ . Kemudian $d u = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 6 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$6$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Langkah 6

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Langkah 9

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Langkah 10

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 12.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Langkah 12.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Langkah 12.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 12.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 12.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Langkah 12.2.3.2.4

Bagilah $- 2 x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$