Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ sebagai $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Langkah 3.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Langkah 3.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 5 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.7

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.9

Gabungkan $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ dan $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.10

Susun kembali suku-suku.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Langkah 3.5

Kalikan $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Langkah 4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Langkah 5.1.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Langkah 5.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 5.1.3.2

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $5$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $5$ dihapus.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 5.1.3.2.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 5.1.3.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Langkah 5.1.3.4

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 5.1.3.5

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Langkah 5.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 e^{x} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Langkah 5.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Langkah 5.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Langkah 5.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Langkah 5.3.6

Tambahkan $5 e^{x}$ dan $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari $\frac{1}{5}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan.

$e$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e$

Bentuk Desimal:

$2.71828182 \dots$