Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t_{1}$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Langkah 2

Biarkan $u = - s t$ . Kemudian $d u = - s d t$ sehingga $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = - s t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Langkah 2.1.2

Karena $- s$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- s t$ terhadap $t$ adalah $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- s$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- s \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Langkah 2.3.2

Kalikan $0$ dengan $s$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{s}$ dan $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{s}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{s}$ keluar dari integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ dan $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- s t_{1}$ dan pada $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Langkah 8.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{s}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Langkah 9.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t_{1}$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Langkah 9.2

Karena eksponen $- s t_{1}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- s t_{1}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Langkah 9.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Langkah 9.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Langkah 9.3.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{s}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{s}$