Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ positif.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{\tan (t)}{2}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ dengan $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.5

Kalikan $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ dengan $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Langkah 2.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.8

Hapus faktor persekutuan dari $\sec^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Langkah 2.2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Langkah 2.2.9

Tulis kembali $\tan (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 2.2.10

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 2.2.11

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 2.2.12

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 2.2.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Langkah 2.2.13

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Langkah 3

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Langkah 4

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$