Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x - 2)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x - 4)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.7

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.8

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.8.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.5

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.6

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1.6.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.6.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.1.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.2.9.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Langkah 1.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali ${(x - 2)}^{2}$ sebagai $(x - 2) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.3

Perluas $(x - 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.4.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.4.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.4.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.5

Tulis kembali ${(x - 4)}^{2}$ sebagai $(x - 4) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.6

Perluas $(x - 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.6.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.6.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.7.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.7.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.7.2

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.10

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.10.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.10.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.10.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.11

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.12.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x^{2} - 8 x + 16)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 8 x + 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.4

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.6

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.7

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.12.8

Tambahkan $2 x - 8$ dan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.13.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.13.2.1

Tambahkan $2 x - 4$ dan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2.4

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2.5

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.13.2.6

Tambahkan $- 4$ dan $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 1.3.14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Langkah 1.3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Langkah 1.3.16

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

Langkah 1.3.17

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

Langkah 1.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} 4$

Langkah 2

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$4$