Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 14

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 14.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 14.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 14.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 14.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 15

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 16

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 17

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 18

Sederhanakan.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 19

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 19.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Langkah 19.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Langkah 20.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Langkah 20.1.2

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Langkah 20.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Langkah 20.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Langkah 20.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Langkah 20.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sin (x)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Langkah 20.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Langkah 20.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x - \sin (x) + C$

Langkah 21

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$