Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Evaluasi $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ pada $27$ dan pada $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Langkah 6.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $27$ dan pada $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.5

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.6

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.10

Kurangi $3$ dengan $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $240$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.11.1

Faktorkan $4$ dari $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.11.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.1.3.11.2.4

Bagilah $60$ dengan $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $27$ adalah $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Langkah 6.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Langkah 6.3.3

Bagilah $27$ dengan $1$ .

$60 - \ln (27)$

Langkah 7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $\ln (27)$ sebagai $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Langkah 7.2

Perluas $\ln (3^{3})$ dengan memindahkan $3$ ke luar logaritma.

$60 - (3 \ln (3))$

Langkah 7.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$60 - 3 \ln (3)$

Bentuk Desimal:

$56.70416313 \dots$

Langkah 9