Kalkulus Contoh

$y = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Langkah 1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2 x}{3})]$

Langkah 1.2.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin (\frac{2 x}{3})$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Langkah 1.2.3.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$0 - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Langkah 1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Langkah 1.2.4

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot 1))$

Langkah 1.2.6

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{2}{3})$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $\cos (\frac{2 x}{3})$ dan $\frac{2}{3}$ .

$0 - 3 \frac{\cos (\frac{2 x}{3}) \cdot 2}{3}$

Langkah 1.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 - 3 \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$ .

$0 + \frac{- 3 (2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Langkah 1.2.10

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$0 + \frac{- 6 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Langkah 1.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Langkah 1.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 (1)}$

Langkah 1.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 \cdot 1}$

Langkah 1.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{1}$

Langkah 1.2.11.2.4

Bagilah $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ dengan $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Langkah 1.3

Kurangi $2 \cos (\frac{2 x}{3})$ dengan $0$ .

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3})]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (\frac{2 x}{3})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sin (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Kalikan $\frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (\frac{2 x}{3})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 2$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{2 x}{3} = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{2 x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.2.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 10.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 10.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 10.2.2.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 10.2.2.1.4

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.4.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Langkah 10.2.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x = \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 10.2.2.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})}{3}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})}{3}$

Langkah 13.3

Kurangi pernyataan $\frac{6 π}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 13.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Langkah 13.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Langkah 13.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Langkah 13.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 13.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 13.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 13.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Langkah 13.4.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3}$

Langkah 13.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3}$

Langkah 14

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{3 π}{4}))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)})$

Langkah 15.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 15.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2})$

Langkah 15.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \cdot 1$

Langkah 15.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3$

Langkah 15.2.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{9 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})}{3}$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{9 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 17.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})}{3}$

Langkah 17.3

Kurangi pernyataan $\frac{18 π}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Faktorkan $2$ dari $18 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Langkah 17.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 17.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 17.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Langkah 17.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Langkah 17.4.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\frac{4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Langkah 17.4.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Langkah 17.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3}$

Langkah 17.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{3}$

Langkah 17.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{3}$

Langkah 18

$x = \frac{9 π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{9 π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{9 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{9 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{9 π}{4}))$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 (2)})$

Langkah 19.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 19.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{9 π}{2})$

Langkah 19.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Langkah 19.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Langkah 19.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 19.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 19.2.1.5

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Langkah 19.2.1.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 + 3$

Langkah 19.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 4$

Langkah 19.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ .

$(\frac{3 π}{4}, - 2)$ adalah minimum lokal

$(\frac{9 π}{4}, 4)$ adalah maksimum lokal

Langkah 21