Kalkulus Contoh

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.4.2

Bagilah $4 x - 1$ dengan $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.5.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(2 x - 1)}^{2}$ dan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.1

Faktorkan $2 x - 1$ dari $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Langkah 4.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Langkah 4.1.5.2.2.4

Bagilah $B (2 x - 1)$ dengan $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Langkah 4.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Langkah 4.1.5.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Langkah 4.1.5.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Langkah 4.1.5.6

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Pindahkan $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Langkah 4.1.6.2

Susun kembali $A$ dan $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$4 = 2 B$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Selesaikan $B$ dalam $4 = 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3.1.2

Bagi setiap suku pada $2 B = 4$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 4$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3.1.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Langkah 4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $2$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $- 1 = A - 1 B$ dengan $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $A$ dalam $- 1 = A - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $A$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Langkah 4.3.3.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Langkah 4.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = 1 B = 2$

Langkah 4.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 1, B = 2$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Langkah 4.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = 2 x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{1} = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 6.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 6.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 9.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 9.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 12

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 12.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 12.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 13.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 15.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 15.3

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 16

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 17.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 18

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 18.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$