Kalkulus Contoh

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ sehingga $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{6 x^{4}} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{6 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 6 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.6

Kalikan $24$ dengan $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tambahkan $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ dan $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Langkah 1.1.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ dan $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{48}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{48}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{1}{48}$ dengan $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2.2

Kalikan $48$ dengan $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $336$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$