Kalkulus Contoh

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Langkah 2.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Gabungkan $\sqrt[3]{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.1.3

Kalikan $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$