Kalkulus Contoh

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

Langkah 1.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $a n$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 3

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ sehingga $4 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{4}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 6.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 6.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sin (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 7

Karena $4$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 8

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 9

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 5 a n x$ . Kemudian $d u_{2} = 5 a n d x$ sehingga $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 5 a n x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $5 a n x$ .

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

Langkah 11.1.2

Karena $5 a n$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 a n x$ terhadap $x$ adalah $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 a n \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 a n$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

Langkah 12

Gabungkan $\cot (u_{2})$ dan $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{5 a n}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{5 a n}$ keluar dari integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\cot (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ dan $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 a n x$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$