Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Langkah 1.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ sebagai ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 1.1.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Langkah 1.1.12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.12.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Langkah 1.1.12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.12.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.12.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.12.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.12.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.12.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.12.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.13.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.1.13.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.1.13.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Langkah 1.1.13.3.2

Sederhanakan.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Langkah 1.1.13.3.3

Kalikan $\frac{x}{2}$ dengan $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Langkah 1.1.13.3.4

Pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.3.5

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.5.1

Pindahkan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Langkah 1.1.13.3.5.2

Kalikan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Langkah 1.1.13.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Langkah 1.1.13.3.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Langkah 1.1.13.3.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Langkah 1.1.13.3.5.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 1.1.13.3.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 1.1.13.3.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Langkah 2.2

Kalikan $2^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $2^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ keluar dari integral.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $2^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 5.2.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Langkah 7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$