Kalkulus Contoh

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Langkah 2.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Langkah 2.3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Langkah 2.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $10 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x x'$ dari $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x x'$ dari $6 x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x x'$ dari $10 y^{2} x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x x'$ dari $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ .

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ dengan $2 x (3 + 5 y^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ dengan $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + 5 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (3 + 5 y^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 + 5 y^{2}) x$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Pindahkan $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$