Kalkulus Contoh

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 6

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 10

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 10.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$