Kalkulus Contoh

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $\frac{6}{3}$ dan $x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $6 x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.3.6.2.4

Bagilah $2 x^{2}$ dengan $1$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Langkah 1.4.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $\frac{- 3}{2}$ dan $x^{- 4}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Langkah 1.4.5

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

Langkah 1.4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4}}$ sebagai ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Langkah 2.4.7

Kalikan $x^{- 8}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Langkah 2.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Langkah 2.4.7.3

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Langkah 2.4.8

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Langkah 2.4.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{2}$ .

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Langkah 2.4.10

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Langkah 2.4.11

Gabungkan $\frac{12}{2}$ dan $x^{- 5}$ .

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Langkah 2.4.12

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.13

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.13.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{5}$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Langkah 2.4.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ .

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$