Kalkulus Contoh

$y'' - y = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

Langkah 2

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk

$y = e^{r x}$ .

Langkah 3

Temukan persamaan karakteristik untuk

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 3.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 3.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan

$e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan

$e^{r x}$ dari

$r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

Langkah 3.4.2

Faktorkan

$e^{r x}$ dari

$- e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.4.3

Faktorkan

$e^{r x}$ dari

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ .

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

Langkah 3.5

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan

$e^{r x}$ .

$r^{2} - 1 = 0$

Langkah 4

Selesaikan

$r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$r^{2} = 1$

Langkah 4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{1}$

Langkah 4.3

Sebarang akar dari

$1$ adalah

$1$ .

$r = \pm 1$

Langkah 4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = 1$

Langkah 4.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - 1$

Langkah 4.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = 1, - 1$

Langkah 5

Dengan dua nilai yang ditemukan dari

$r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

Langkah 6

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

Langkah 7

Kalikan

$x$ dengan

$1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$